Question

观察下列各式：
1³+2³=1+8=9，而（1+2）²=9，∴1³+2³=（1+2）²；
1³+2³+3³=6，而（1+2+3）²=36，∴1³+2³+3³=（1+2+3）²；
1³+2³+3³+4³=100，而（1+2+3+4）²=100，∴1³+2³+3³+4³=（1+2+3+4）²；
∴1³+2³+3³+4³+5³=（________）²=________．
根据以上规律填空：
（1）1³+2³+3³+…+n³=（________）²=[________]²．
（2）猜想：11³+12³+13³+14³+15³=________．

Answer 1

解：由题意可知：1³+2³+3³+4³+5³=（1+2+3+4+5）²=225
（1）∵1+2+…+n=（1+n）+[2+（n-1）]+…+[+（n-+1）]=，
∴1³+2³+3³+…+n³=（1+2+…+n）²=[]²；
（2）11³+12³+13³+14³+15³=1³+2³+3³+…+15³-（1³+2³+3³+…+10³）
=（1+2+…+15）²-（1+2+…+10）²
=120²-55²=11375．
故答案为：1+2+3+4+5；225；1+2+…+n；；11375．
分析：观察题中的一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，根据此规律填空，
（1）根据上述规律填空，然后把1+2+…+n变为个（n+1）相乘，即可化简；
（2）对所求的式子前面加上1到10的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与1到10的立方和，求出的两数相减即可求出值．
点评：此题要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，探索问题，获得解题途径．考查了学生善于观察，归纳总结的能力，以及运用总结的结论解决问题的能力．