Question

（2008•邵阳）如图，正方形OA₁B₁C₁的边长为1，以O为圆心、OA₁为半径作扇形OA₁C₁，与OB₁相交于点B₂，设正方形OA₁B₁C₁与扇形OA₁C₁之间的阴影部分的面积为S₁；然后以OB₂为对角线作正方形OA₂B₂C₂，又以O为圆心，OA₂为半径作扇形OA₂C₂，与OB₁相交于点B₃，设正方形OA₂B₂C₂与扇形OA₂C₂之间的阴影部分面积为S₂；按此规律继续作下去，设正方形OA_nB_nC_n与扇形OA_nC_n之间的阴影部分面积为S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃；
（2）写出S₂₀₀₈；
（3）试猜想S_n（用含n的代数式表示，n为正整数）．

Answer 1

【答案】分析：根据阴影部分的面积是正方形的面积减去所对应的扇形的面积可求解，所以可分别计算出S₁=1-π，S₂=-，S₃=-；那么S_n=-（n为正整数）．可据此求出当n=2008时，S的值．
解答：解：
（1）；
由勾股定理得：OA₂²+A₂B₂²=OB₂²=1²，
∴OA₂=，
；
；

（2）S₂₀₀₈=-；

（3）S_n=-（n为正整数）．
点评：主要考查了正方形的性质和扇形的面积公式．本题要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．