Question

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A、B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，圆心O₁的坐标为（2 ，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A、B两点。

（1）求二次函数的解析式；
（2）求切线OM的函数解析式；
（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵圆心O1的坐标为，⊙O1半径为1， ∴A（1，0），， ∵二次函数的图象经过点A、B， ∴可得方程组， 解得：， ∴二次函数解析式为 （2）过点M作轴，垂足为F， ∵OQ是⊙O1的切线，M为切点， ∴ （圆的切线垂直于经过切点的半径） 在中，， ∵∠O1OM为锐角， ∴ ， ∴， 在中，， ， ∴M点的坐标为， 设切线OM的函数解析式为， 由题意可知， ∴切线OM的函数解析式为； （3）存在。 ①过点A作轴，与交于点P1，可得 ； ②过点A作，垂足为P2，过P2点作，垂足为H。 可得， 在中，，∴， 在中，， ， 符合条件的P点坐标是，。