Question

已知四边形ABCD，AD∥BC，连接BD．

(1)小明说：“若添加条件BD²＝BC²＋CD²，则四边形ABCD是矩形．”你认为小明的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举出一个反例说明．

(2)若BD平分∠ABC，∠DBC＝∠BDC，tan∠DBC＝1，求证：四边形ABCD是正方形．

Answer 1

 (1)解： 不正确.                      

  如图作(直角)梯形ABCD，            

  使得AD∥BC，∠C＝90°.                                         

  连结BD，则有BD²＝BC²＋CD².        

  而四边形ABCD是直角梯形不是矩形.    

 

(2)证明：如图，

 

 ∵ tan∠DBC＝1，

  ∴ ∠DBC＝45°.                       

  ∵ ∠DBC＝∠BDC，

  ∴ ∠BDC＝45°.

  且BC＝DC.                           

  法1： ∵ BD平分∠ABC，

  ∴ ∠ABD＝45°，∴ ∠ABD＝∠BDC.

  ∴ AB∥DC.

  ∴ 四边形ABCD是平行四边形.                                   

  又∵ ∠ABC＝45°＋45°＝90°，

  ∴ 四边形ABCD是矩形.                                           

  ∵ BC＝DC，

  ∴ 四边形ABCD是正方形.                                       

  法2：∵ BD平分∠ABC，  ∠BDC＝45°，∴∠ABC＝90°.

  ∵ ∠DBC＝∠BDC＝45°，∴∠BCD＝90°.

  ∵ AD∥BC，

  ∴ ∠ADC＝90°.                                             

  ∴ 四边形ABCD是矩形.                                        

  又∵ BC＝DC

  ∴ 四边形ABCD是正方形.                                        

  法3：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝45°. ∴ ∠BDC＝∠ABD.

 ∵ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC.

 ∵ BD＝BD，

 ∴ △ADB≌△CBD.

 ∴ AD＝BC＝DC＝AB.                                            

  ∴ 四边形ABCD是菱形.                                      

  又∵∠ABC＝45°＋45°＝90°，

  ∴ 四边形ABCD是正方形.