Question

如图（1），正方形ABCD的边长为8，点M、N分别为边AD、BC的中点．现有动点E沿N→B→A以每秒1个单位的速度运动，同时动点F沿C→D→M以相同速度运动．
（1）求在运动过程中形成的△CEF的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；
（2）何时点E、F与正方形的某一个顶点恰好连成一个等腰三角形，请写出此时t的值；
（3）如图（2），当点F从C向D运动时，连接FN，作FN的垂线交直线DA于点G，点P为GN的中点，连接PM、MF、PF．当△PMF的面积为12时，求对应的t的值．

Answer 1

分析：（1）分三种情况：当0≤t≤4时；当4≤t≤8时；当8≤t≤12时；根据图形的面积公式得出△CEF的面积S与运动的时间t之间的函数关系；
（2）分三种情况：当0≤t≤4时；当4≤t≤8时；当8≤t≤12时；根据等腰三角形的性质即可求得t的值；
（3）先根据S_△PMF=S_矩形MNCD+S_△PMN-S_△NCF-S_△MDF-S_△PNF列出代数式，再根据△PMF的面积为12，求对应的t值．

解答：解：（1）当0≤t≤4时，S=

1

2

t2+2t；
当4＜t≤8时，S=4t；
当8＜t≤12时，S=-

1

2

t2+6t+16．

（2）当0≤t≤4时，当t=-12+8

3

时，EF=DF；当t=4时，EF=AF；
当4＜t≤8时，当t=8时，EF=EC；
当8＜t≤12时，当t=20-8

2

时，EF=FC；当t=24-8

3

时，EF=EB；
∴t=-12+8

3

或4或8或20-8

2

或24-8

3

．

（3）S_△PMF=S_矩形MNCD+S_△PMN-S_△NCF-S_△MDF-S_△PNF
=4×8+

1

2

×8t-

1

2

×4t-

1

2

×4×(8-t)-

1

2

(42+t2)
=-

1

2

t2+4t+8，
令-

1

2

t2+4t+8=12，
解得t=4±2

2

．

点评：考查了相似形综合题，涉及到图形的面积计算，等腰三角形的性质，函数思想好分类思想，（3）也可利用S_△PMF=S_△PMN+S_△FMN-S_△PNF来计算．