Question

(2005潍坊)如图，AD是ΔABC的角平分线，延长AD交于ΔABC的外接圆O于点E，过C、D、E三点的圆与AC的延长线交于点F，连结EF、DF．

(1)求证：△AEF∽ΔFED；

(2)若AD=6，DE=3，求EF的长；

(3)若DF∥BE，试判断ΔABE的形状，并说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)证明：如图，连结CE，在图中，∠EFD=∠DCE，在圆O中，∠BAE=∠DCE，所以∠EFD=∠BAE，又因为AE是∠BAC的角平分线，得∠BAE=∠CAE，所以∠CAE=∠EFD，因为∠AEF=∠FED，所以ΔAEF∽ΔFED． (2)解：因为ΔAEF∽ΔFED，所以，所以． (3)证明：ΔABE为等腰三角形．理由：根据同弧上的圆周角相等，得到：∠ABC=∠AEC，∠CBE=∠CAE，所以∠ABE=∠AEC＋∠CAE，因为∠AEC＋∠CAE＋∠ACE=180°，所以∠ABE＋∠ACE=180°．又∠FCE＋∠ACE=180°，所以∠FCE=∠ABE．因为DF∥BE，∠FDE=∠AEB，又因为∠FCE=∠FDE，所以∠AEB=∠ABE，所以ΔABE为等腰三角形．