Question

【题目】如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知.

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求劣弧与弦所围阴影图形的面积；

（3）若，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接，利用圆的半径相等及已知条件证明，再根据直角三角形两锐角互余得到，再根据平角定义即可得到结论；

（2）连接，作于，根据及直角三角形的性质求出BD=2，根据垂径定理及三角函数求出，OF，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半求出OB，即可利用扇形面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积；

（3）先证明求出AB，再根据勾股定理求出半径，即可求得AE的长.

（1）证明：连接，如图1所示：

∵，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∴，

∴，

则为的切线；

（2）连接，作于，如图2所示：

∵，，∴，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∵，∴，，

∴，

∴劣弧与弦所围阴影部分的面积

扇形的面积的面积；

（3）∵，，

∴，

∴，

∴，即，

解得：，或（舍去），

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴在中， ,

∴设的半径为，则，

∴,

∴,

∴.