Question

如图，⊙O中，弦AB⊥CD于点E．若点M为AC的中点，求证：ME⊥BD．

Answer 1

分析：首先延长ME交BD于点N，由弦AB⊥CD于点E，点M为AC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得EM=CM=

1

2

AC，继而可得∠MEC=∠C=∠NED，又由圆周角定理，易得∠D+∠NEC=90°，则可证得结论．

解答：证明：延长ME交BD于点N，
∵弦AB⊥CD，点M为AC的中点，
∴EM=CM=

1

2

AC，∠A+∠C=90°，
∴∠C=∠MEC，
∵∠MEC=∠NED，
∴∠NED=∠C，
∵∠D=∠A，
∴∠D+∠NEC=90°，
即∠DNE=90°，
∴ME⊥BD．

点评：此题考查了圆周角定理以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．