Question

如图，⊙O中，弦AB⊥CD于点E．若ON⊥BD于N，求证：ON=

1

2

AC．

Answer 1

分析：首先连接DO交延长，交圆O于F，连接CF，BF．由ON⊥BD，根据垂径定理的即可求得BN=CN，继而可得ON是△BDF的中位线，则可求得ON=

1

2

BF，易证得CF∥AB，即可得AC=BF，继而证得结论．

解答：证明：连接DO交延长，交圆O于F，连接CF，BF．
∵ON⊥DB，
∴DN=BN；
又∵DO=OF．
∴ON=

1

2

BF；
∵DF为直径，
∴∠DCF=90°
∵弦AB⊥CD，
∴∠DEA=90°，
∴∠DCF=∠DEA，
∴CF∥AB，
∴

AF

=

BC

，
∴

AC

=

BF

，
∴AC=BF．
∴ON=

1

2

AC．

点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及三角形的中位线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．