Question

10．如图，点E、F分别是菱形ABCD边AD，CD的中点，EG⊥BC于点G，∠GEF=50°，则∠A的度数是（　　）

• A． 50°
• B． 60°
• C． 70°
• D． 80°

Answer 1

分析 如图，延长GF交AD的延长线于M．由△FDM≌△FCG，FM=FG，利用直角三角形斜边中线的性质，可得EF=FM=GF，再求出∠M，证明DF=DM，即可求出∠FDM，延长即可解决问题．

解答 解：如图，延长GF交AD的延长线于M．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠M=∠CGF，
在△FDM和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠FGC}\\{∠DFM=∠CFG}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△FDM≌△FCG，
∴FM=FG，
∵EG⊥CB，AD∥CB，
∴EG⊥AD，
∴∠GEM=90°，
∴EF=FM=FG，
∴∠M=∠FEM，
∵∠GEF=50°，
∴∠M=50°，
∵CG=CF，CG=DM，
∴DF=DM，
∴∠M=∠DFM=50°，
∴∠FDM=180°-50°-50°=80°，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠CDM=80°．

点评 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．