Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：（1）∵过点M、N（2，－5），，
由题意，得M（，）.
∴ 
解得 
∴此抛物线的解析式为. …………………………………2分
（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，
若△DMN为直角三角形，则.
∴D₁（，），（，）. ………………………………………4分

直线MD₁为，直线为.
将P（x，）分别代入直线MD₁，
的解析式，
得①，②.
解①得 ，（舍），
∴（1,0）. …………………………………5分
解②得 ，（舍），
∴（3,－12）. ……………………………6分
（3）设存在点Q（x，），
使得∠QMN=∠CNM.
① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，
交MN于点H，则.
即.                                     
解得，（舍）.
∴（，3）. ……………………………7分
② 若点Q在MN下方，
同理可得（6，）. …………………8分

解析