Question

11．如图，在⊙O中．AB是直径，点D是⊙O上-点．点C是$\widehat{AD}$的中点，CE⊥AB于点E，在EC的延长线上有一点G，使GP=GD．连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，且AC=6，BC=8．
（1）求证：GD是⊙O的切线；
（2）求线段AQ的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，利用等腰三角形的性质，可得出∠GPD=∠GDP，∠OAD=∠ODA，进一步证得∠APF+∠OAD=∠GDP+∠ODA=90°，即OD⊥GD，即可证得GD是⊙O的切线；
（2）证得△ACQ∽△BCA，根据相似三角形的性质即可求得．

解答 解：（1）连接OD，
∵GP=GD，
∴∠GPD=∠GDP，
∴∠APF=∠GDP，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠APF+∠OAD=∠GDP+∠ODA，
∵CE⊥AB于点E，
∴∠APF+∠OAD=90°，
∴∠GDP+∠ODA=90°，
即∠ODG=90°，
∴OD⊥GD，
∴GD是⊙O的切线；
（2）∵C点C是$\widehat{AD}$的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ABC=∠DBC，
∵∠CAD=∠DBC，
∴∠CAD=∠ABC，
∵∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴$\frac{AQ}{AB}$=$\frac{AC}{BC}$，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴$\frac{AQ}{10}$=$\frac{6}{8}$，
∴AQ=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．