Question

如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若EG=3，GF=2，求AG的长．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据折叠的性质求出AD=AG=AB，∠D=∠B=90°，求出∠DAB=90°，根据正方形的判定推出即可．
（2）设AG=x，则AB=BC=CD=x，求出CE=CB-BE=x-3，CF=x-2．根据勾股定理得出（x-3）²+（x-2）²=5²，求出方程的解即可．

解答：（1）证明：∵将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，
∴AD=AG=AB，∠D=∠AGF=90°，∠B=∠AGE=90°，∠DAF=∠GAF，∠BAE=∠GAE，
∵∠EAF=45°=∠FAG+∠GAE，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠DAB=45°+45°=90°，
即∠B=∠D=∠DAB=90°，AD=AB，
∴四边形ABCD是正方形．

解：（2）由折叠知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=3，DF=FG=2，
∵EF=5，
设AG=x，则AB=BC=CD=AG=x，CE=CB-BE=x-3，CF=x-2．
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-3）²+（x-2）²=5²．
解这个方程，得x₁=6，x₂=-1（舍去）．
∴AG=6．

点评：本题考查了折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生的推理能力．