Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，AB=10，CD=4，连接并延长BD到E，使DE=BD，作
EF⊥AB，交BA的延长线于点F．
（1）求tan∠ABD的值；（2）求AF的长．

Answer 1

解：（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N．（如图）
∵AB∥DC，DM⊥AB，CN⊥AB，
∴∠DMN=∠CNM=∠MDC=90°，
∴四边形MNCD是矩形，
∵CD=4，
∴MN=CD=4，
∵在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，
∴∠DAB=∠CBA，DM=CN，
∴△ADM≌△BCN，
又∵AB=10，
∴AM=BN=（AB-MN）=×（10-4）=3，
∴MB=BN+MN=7．
∵在Rt△AMD中，∠AMD=90°，AD=5，AM=3，
∴DM==4，
∴tan∠ABD==．

（2）∵EF⊥AB，
∴∠F=90°，
∵∠DMN=90°，
∴∠F=∠DMN，
∴DM∥EF，
∴△BDM∽△BEF，
∵DE=BD，
∴==，
∴BF=2BM=14．
∴AF=BF-AB=14-10=4．
分析：（1）作DM⊥AB于点M，CN⊥AB于点N，由AB∥DC，DM⊥AB，CN⊥AB判断出四边形MNCD是矩形，进而可得出MN的长，由全等三角形的判定定理可得出△ADM≌△BCN，在Rt△AMD中由勾股定理可得出DM的长，进而可求出tan∠ABD的值；
（2）由EF⊥AB，DM∥EF可求出△BDM∽△BEF，由相似三角形的性质可得出BF的长，由AF=BF-AB即可求出答案．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，涉及到全等三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的性质及锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．