Question

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（－1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C。

（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式。

（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数表达式。

（3）试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）连结PC，∵A（4，0），B（－1，0），

∴ AB=5

∵P是AB的中点，且是圆P的圆心

∴P=PA=，OP=

∵

∴C（0，2）

设经过A、B，C三点的抛物线为

∵，∴

∴抛物线为

即                                        

（2）将配方，得

∴顶点M（，）

设直线MC为，则有

，解得：

∴直线MC为                                      

（3）直线MC与圆P相切。

证明：设MC与轴相交于点N，在中，令，得

∴，

            

∴

∴∠ PCN=90°

∴ MC与圆P相切