Question

已知抛物线的顶点为点C．

（1）求证：不论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）若抛物线的对称轴为直线，求m的值和C点坐标；

（3）如图，直线与（2）中的抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．直线交直线AB于点M，交抛物线于点N．求当k为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 1

 (1)Δ＝

＝．                                   

∵不论m为何实数，总有，∴Δ＝＞0，

∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根，

∴无论m为何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点．

(2)∵ 抛物线的对称轴为直线x＝3，

∴ ＝3，即m＝3，                               

此时，抛物线的解析式为y＝＝，

∴顶点C坐标为(3，－2)．                                   

(3) ∵CD∥MN，C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，

∴四边形CDMN是平行四边形或四边形CDNM是平行四边形．

由已知D(3，2)，M(k，k－1)，N(k，)，

∵C(3，－2)，∴ CD＝4．

∴MN＝＝CD＝4．                

①当四边形CDMN是平行四边形，

MN＝k－1－()＝4，

整理得  ＝0，

解得  k₁＝3（不合题意，舍去），k₂＝5．                     

②当四边形CDNM是平行四边形，

NM＝－(k－1)＝4，

整理得  ＝0，

解得  k₃＝，k₄＝．

综上所述，k＝5，或k＝，或k＝时，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．