Question

如图，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点(但不与顶点重合)，若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．(1)求证：AF＝EC；(2)用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作．①当x∶b为何值时，直线经过原矩形的一个顶点．②在直线经过原矩形的一个顶点的情况下，连接，直线与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直．

Answer 1

答案：
解析：

解答(1)∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，则有 　　(x＋AF)·a＝(b－x＋b－AF)·a， 　　x＋AF＝b－x＋b－AF，AF＝b－x． 　　又EC＝b－x，∴AF＝EC． 　　(2)①当直线经过原矩形的顶点D时，如图， 　　∵DC＝＝a，EC∥，∴DE＝，∴2EC＝，即2(b－x)＝x，2b＝3x，∴x∶b＝2∶3． 　　当直线经过原矩形的顶点A时，如图． 　　∵DC＝＝a，AD∥EC∥，∴AE＝， 　　∴2EC＝＋AD． 　　即2(b－x)＝x＋b，解得x∶b＝1∶3． 　　∴当x∶b的值为或时，直线经过原矩形的一个顶点． 　　②当直线经过原矩形顶点D时，如图，∥EF． 　　证明如下：连结BF．∵FD∥BE，FD＝BE，∴四边形BFDE是平行四边形， 　　∴BF∥DE，BF＝DE． 　　又DC＝，EC∥，∴DE＝． 　　又BF∥，BF＝，∴四边形是平行四边形，∴∥EF． 　　当直线经过原矩形顶点A时，如图，显然与EF不平行，设直线EF与的交点为G． 　　∵∠FEM＝∠EFA＝，又∠BEG＝∠FEM，∴∠BEG＝． 　　若∠BEG＝，则⊥EF． 　　当∠BEG＝时，⊥EF，则△BGE≌．＝， 　　∴＝，a2＝b2， 　　∵a＞0，b＞0，∴＝，因此可推知，当＝时，与EF垂直．

提示：

注意：本题难度较大，解本题的关键是看懂题意，如“将梯形ABEF沿AB对称翻折”，“平移拼接在梯形ECDF的下方”的意义，并画出正确的图形．