Question

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．

（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

（2）求证：BG²﹣GE²=EA²．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。

解答：证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，

∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，

∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，

∵在△DBH和△DCA中xk b1 .co m

∵∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，

∴△DBH≌△DCA，

∴BH=AC．

（2）连接CG，

∵F为BC的中点，DB=DC，

∴DF垂直平分BC，

∴BG=CG，

∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，

∴∠AEB=∠CEB，

在△ABE和△CBE中

∵∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，

∴△ABE≌△CBE，

∴EC=EA，

在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG²﹣GE²=EA²．