题目内容

已知A（3，y₁），B（ $数学公式$ ）为反比例函数y= $数学公式$ 的图象上的两点，动点P在y轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是

A.
（0， $数学公式$ ）
B.
（0，1）
C.
（0， $数学公式$ ）
D.
（0， $数学公式$ ）

D
分析：先根据A（3，y₁），B（ $\text{[math]}$ ）为反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上的两点求出A、B的坐标，再根据题意画出图形，在反比例函数的图象上标出AB两点，设直线AB的解析式是y=kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP-BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于y轴的交点坐标即可．
解答：

解：∵A（3，y₁），B（ $\text{[math]}$ ）为反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上的两点，
∴y₁= $\text{[math]}$ ，y₂=3，
∴A（3， $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ，3），
∴函数图象如图所示：
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交y轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，则 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AB的解析式为y=-x+ $\text{[math]}$ ，
∴当x=0时，y= $\text{[math]}$ ，即P′（0， $\text{[math]}$ ）．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．