Question

某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍，则

m

m+1

+

n

n+1

+

k

k+1

=

 

．

Answer 1

分析：由于

m

m+1

+

n

n+1

+

k

k+1

=（1-

1

m+1

）+（1-

1

n+1

）+（1-

1

k+1

）=3-（

1

m+1

+

1

n+1

+

1

k+1

），所以关键是分别求出

1

m+1

、

1

n+1

、

1

k+1

的值．设甲、乙、丙单独工作分别需x天、y天、z天．根据“甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍”，可得x=

m

1 y + 1 z

，运用比例的基本性质、等式的性质及分式的基本性质可得

1

m+1

=

yz

xy+yz+zx

；同理，根据“乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍”，可得

1

n+1

=

xz

xy+yz+zx

；根据“丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍”，可得

1

k+1

=

xy

xy+yz+zx

，将它们分别代入所求代数式，即可得出结果．

解答：解：设甲、乙、丙单独工作分别需x天、y天、z天．
由题意，有x=

m

1 y + 1 z

①，y=

n

1 x + 1 z

②，z=

k

1 x + 1 y

③．
由①得m=

x

y

+

x

z

，
∴m+1=

x

y

+

x

z

+1，
∴

1

m+1

=

1

x y + x z +1

=

yz

xz+xy+yz

，
即

1

m+1

=

yz

xy+yz+zx

；
同理，由②得

1

n+1

=

xz

xy+yz+zx

；
由③得

1

k+1

=

xy

xy+yz+zx

，
∴

m

m+1

+

n

n+1

+

k

k+1

，
=（1-

1

m+1

）+（1-

1

n+1

）+（1-

1

k+1

），
=3-（

1

m+1

+

1

n+1

+

1

k+1

），
=3-（

yz

xz+xy+yz

+

xz

xy+yz+zx

+

xy

xy+yz+zx

），
=3-1，
=2．
故答案为2．

点评：本题主要考查分式方程在工程问题中的应用及代数式求值．工程问题的基本关系式为：工作总量=工作效率×工作时间．注意两人合作的工作效率等于两人单独作的工作效率之和．本题难点在于将列出的方程变形，用含有x、y、z的代数式分别表示

1

m+1

、

1

n+1

、

1

k+1

的值．