Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为

2

-1，直线l：y=-x-

2

分别与x轴、y轴交于A、C两点，点B的坐标为（4，1），⊙B与x轴相切于点M．
（1）求点A的坐标及∠CAO的度数；
（2）⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移，那么经过多长时间⊙B与⊙O第一次相切？
（3）在⊙B移动的同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转．当⊙B第一次与⊙O相切时，直线l也恰好与⊙B第一次相切．问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？

Answer 1

分析：（1）根据当y=0时，x=-

2

，得出A点坐标即可，再利用当x=0时，y=-

2

，得出OA=OC，进而求出∠CAO的度数；
（2）利用切线的性质定理首先得出MN=t，OB₁=

2

-1+1=

2

，B₁N⊥AN，再利用勾股定理得出MN的长度即可；
（3）设⊙B平移到⊙B₁处与⊙O第一次相切时，直线l旋转到l'恰好与⊙B₁第一次相切于点P，得出∠PAN=45°，进而求出∠1=90°，即可得出直线AC绕点A每秒顺时针旋转度数．

解答：解：（1）当y=0时，x=-

2

．
∴点A的坐标是（-

2

，0）．
∴OA=

2

．
当x=0时，y=-

2

．
∴OC=

2

．
∴OA=OC．
又∠AOC=90°．
∴∠CAO=∠ACO=

180°-90°

2

=45°．

（2）如图，设⊙B平移t秒到⊙B₁处与⊙O第一次相切，
⊙B₁与x轴相切于点N，连接B₁O、B₁N，
则MN=t，OB₁=

2

-1+1=

2

，B₁N⊥AN．
在Rt△OB₁N中，由勾股定理，得
ON=

OB12-B1N2

=

( 2 )2-12

=1．
∴MN=4-1=3，
即t=3．

（3）设⊙B平移到⊙B₁处与⊙O第一次相切时，直线l旋转到l'恰好与⊙B₁第一次相切于点P，
连接B₁A、B₁P．
则B₁P⊥AP，
∴B₁P=B₁N．
∴∠PAB₁=∠NAB₁．
∵OA=OB₁=

2

，
∴∠AB₁O=∠NAB₁．
∴∠PAB₁=∠AB₁O．
∴PA∥B₁O．
在Rt△NOB₁中，
∵ON=B₁N，
∴∠B₁ON=45°，
∴∠PAN=45°，
∴∠1=90°．
360°-90°=270°，
∴直线AC绕点A每秒顺时针旋转的度数为270°÷3=90°．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和一次函数与坐标轴交点求法等知识，正确利用切线的性质定理得出相关直线关系是解题关键．