题目内容
12．如图，已知二次函数y=ax2+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），且当x=-1和x=3时，二次函数的值y相等，直线AD交抛物线于点D（2，m）．（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是线段AB上的一动点，（点P和点A，B不重合），过点P作PE∥AD，交BD于E，连接DP，当△DPE的面积最大时，求点P的坐标；
（3）若直线AD 与y轴交于点G，点M是抛物线对称轴l上的动点，点N是x轴上的动点，当四边形CMNG的周长最小时，求出周长的最小值和点M，点N的坐标．
分析 （1）根据当x=-1和x=3时，二次函数的值y相等，求出对称轴，由点A的坐标为（-2，0），得到B点坐标为（4，0），将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式y=ax2+bx-4即可；
（2）如图1，作EF⊥x轴于F，求出AD解析式，可得到PE解析式为y=-x+g，设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，PE解析式为y=-x+3t-8，求出P点坐标为（3t-8，0），列出S△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t2+36t-48即可求解；
（3）二次函数对称轴为x=1，则C（0，-4）关于x=1的对称点为C′（2，-4），G（0，-2）关于x轴的对称点为G′（0，2）．连接C′G′，与l交点即为M，与x轴交点即为N．此时四边形CMNG的周长最小值=C′G′．求出C′G′解析式即可解答．
解答 解：（1）当x=-1和x=3时，二次函数的值y相等可知对称轴为x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∵点A的坐标为（-2，0），
∴B点坐标为（4，0），
将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}4a-2b-4=0\\ 16a+4b-4=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}\right.$．
二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x-4．
（2）如图1，作EF⊥x轴于F，将点D（2，m）代入y=$\frac{1}{2}$x2-x-4得，m=-4，
则D点坐标为（2，-4），
设AD解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），D（2，-4）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=0\\ 2k+b=-4\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ k=-1\end{array}\right.$，
函数AD解析式为y=-x-2．
∵PE∥AD，
∴PE解析式为y=-x+g．
设BD解析式为y=mx+n，
把B（4，0），D（2，-4）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}4m+n=0\\ 2m+n=-4\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=-8\end{array}\right.$，
函数BD解析式为y=2x-8．
则可设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g，即g=3t-8，
PE解析式为y=-x+3t-8，
当y=0时，x=3t-8，则P点坐标为（3t-8，0），
S△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t2+36t-48，
当t=-$\frac{36}{2×（-6）}$=3时，S△DPE的面积最大，
此时，3t-8=3×3-8=1，
得P（1，0）．
（3）如图2，二次函数对称轴为x=1，则C（0，-4）关于x=1的对称点为C′（2，-4），G（0，-2）关于x轴的对称点为G′（0，2）．
连接C′G′，与l交点即为M，与x轴交点即为N．
此时四边形CMNG的周长最小值=C′G′．
设C′G′的解析式为y=zx+s，
将C′（2，-4），G′（0，2）分别代入解析式得，$\left\{\begin{array}{l}2z+s=-4\\ s=2\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}z=-3\\ s=2\end{array}\right.$，
C′G′的解析式为y=-3x+2，
当x=1时，y=-1，M（1，-1），
当y=0时，x=$\frac{2}{3}$，N（$\frac{2}{3}$，0）．
四边形CMNG的周长最小值=C′G′+CG=$\sqrt{（0-2）^{2}+（2+4）^{2}}$+2=2$\sqrt{10}$+2．
点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式，二次函数求最值、轴对称最短路径问题，难度较大，值得关注．
如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，连接QE并延长，交x轴于点F．设动点P、Q的运动时间为t（单位：秒）
如图，河流两岸a、b平行，C、D是河岸a上间隔50米的两根电线杆，某人在河岸b上的A处测得∠DAE=30°，然后沿河岸走了100米到达B处，测得∠CBF=60°，则河流的宽度CF的值为43m（结果精确到个位，$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）
如图，E是正方形ABCD的边CD的中点，AE的垂直平分线分别交AE、BC于H、G，若CG=7，则正方形ABCD的面积等于64．
大明因急事在运行中的自动扶梯上行走去二楼（如图1），图2中线段OA、OB分别表示大明在运行中的自动扶梯上行走去二楼和静止站在运行中的自动扶梯上去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间之间的关系．下面四个图中，虚线OC能大致表示大明在停止运行（即静止）的自动扶梯上行走去二楼时，距自动扶梯起点的距离与时间关系的是（ ）
