Question

（2012•中山区一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴分别交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴分别交于点C（0，-3），其顶点为D，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，BD，求证∠ACO=∠CBD．
（3）若点P是抛物线上的动点，点M（1，m），是否存在数m，使得以P、M、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出m的值及P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3 ）三点的坐标代入函数解析式y=ax²+bx+c与，利用待定系数法求解；
（2）分别计算△ACO与△DBC的三边，根据三边对应成比例的两三角形相似得出△ACO∽△DBC，由相似三角形的对应角相等即可证明出∠ACO=∠CBD；
（3）分两种情况：①以BC为对角线，那么先找出BC的中点，由点M的横坐标为1求出点P的横坐标，而P在抛物线上，代入抛物线的解析式中，即可求出符合条件的P点坐标及m的值；②以BC为边，那么PM必与BC平行，根据平移的性质、平行四边形的性质即可求出P点坐标及m的值．

解答：解：（1）把点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3 ）三点的坐标代入函数解析式得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

．
所以抛物线的解析式为y=x²-2x-3．

（2）在△ACO中，OA=1，OC=3，AC=

OA2+OC2

=

10

，
在△DBC中，∵C（0，-3），D（1，-4），B（3，0），
∴CD=

2

，BC=

OB2+OC2

=3

2

，BD=2

5

，
∴OA：CD=OC：BC=AC：BD=1：

2

，
∴△ACO∽△DBC，
∴∠ACO=∠CBD；

（3）假设存在数m，使得以P、M、B、C为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：
①以BC为对角线，则BC的中点为（1.5，-1.5），则点P的坐标为（2，-3）；
②以BC为边，那么PM必与BC平行，则点P的坐标为（-2，5）或（4，5）．

点评：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．