题目内容

已知二次函数 $数学公式$ ．
（1）请你通过计算判断：函数 $数学公式$ 的图象与x轴是否有交点？
（2）设函数 $数学公式$ 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，请求出点A、B、C的坐标（可用含m的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，若△ABC是等腰三角形，求二次函数的解析式．

解：（1）∵△=（3m+ $\text{[math]}$ ）²-16m=（3m- $\text{[math]}$ ）²≥0，
∴抛物线与x轴有交点；

（2）令y=0，得mx²-（3m+ $\text{[math]}$ ）x+4=0，解得x=3或 $\text{[math]}$ ，
令x=0，得y=4，
∴A（3，0），B（ $\text{[math]}$ ，0），C（0，4）；

（3）由（2）可知AC=5，
①当AB=AC，B点在A点左边时，B（-2，0），
代入抛物线解析式，得m×（-2）²-（3m+ $\text{[math]}$ ）×（-2）+4=0，解得m=- $\text{[math]}$ ，
②当AB=AC，B点在A点右边时，B（8，0），
代入抛物线解析式，得m×8²-（3m+ $\text{[math]}$ ）×8+4=0，解得m= $\text{[math]}$ ，
③当AC=BC时，B（-3，0），
代入抛物线解析式，得m×（-3）²-（3m+ $\text{[math]}$ ）×（-3）+4=0，解得m=- $\text{[math]}$ ，
④当B在AC的垂直平分线上时，AB=BC，
设B（x，0），
∴（x-3）²=x²+4²，
∴x=- $\text{[math]}$ ，
∴B（- $\text{[math]}$ ，0），
代入抛物线解析式，得m×（- $\text{[math]}$ ）²-（3m+ $\text{[math]}$ ）×（- $\text{[math]}$ ）+4=0，解得m=- $\text{[math]}$ ，
∴二次函数解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4或y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4或y=- $\text{[math]}$ x²+4或y=- $\text{[math]}$ x²-+ $\text{[math]}$ x+4．
分析：（1）根据二次函数解析式的判别式进行判断；
（2）分别令y=0，x=0，可求点A、B、C的坐标；
（3）根据①AB=AC，B点在A点左边，②AB=AC，B点在A点右边，③当AC=BC时，④B在AC的垂直平分线上，四种情况分别求B的坐标，代入抛物线解析式求m的值，确定抛物线解析式．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线解析式求A、C两点坐标，得出AC的长度，根据AC为腰，为底边分类求B点坐标．