题目内容

四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（10，0），B（8，6），直线x=4与直线AC交于P点，与x轴交于H点；
（1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析式；
（2）求出线段PH的长度，并在直线AC上找到Q点，使得△PHQ的面积为△AOC面积的 $数学公式$ ，求出Q点坐标；
（3）M点是直线AC上除P点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在N点，使得△MHN为等腰直角三角形？若有，请求出M点及对应的N点的坐标，若没有，请说明理由．

解：（1）作CE⊥OA于点E，BF⊥OA于F，
∴∠CEO=∠BFA=90°，CE∥BF，
∴OA∥BC，
∴四边形ECBF是平行四边形，
∴CE=BF．
∵四边形OABC是等腰梯形，
∴OC=AB，
∴△OEC≌△AFB，
∴OE=AF，
∵A（10，0），B（8，6），
∴0A=10，OF=8，BF=6，
∴OE=2
∴C（2，6）
∵直线AC过点A（10，0），C（2，6），
设直线AC解析式为：y=kx+b（k≠0）
根据题意得： $\text{[math]}$
解得：k= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
∴直线AC：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$

（2）将x=4代入上述解析式，y= $\text{[math]}$ ，即PH= $\text{[math]}$
∵Q点在直线AC上，设Q点坐标为（t， $\text{[math]}$ t+ $\text{[math]}$ ）
由题知： $\text{[math]}$ PH•|t-4|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ OA•|y_C|，
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
解得t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
即满足题意的Q点有两个，分别是Q₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或Q₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（3）存在满足题意的M点和N点．
设M点坐标为（a， $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ ），当a＞10时，无满足题意的点；
①若∠MNH=90°，则MN=HN，即 $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ =|a-4|，
解得a= $\text{[math]}$ 或-14，
此时M点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（-14，18）； N点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）或（-14，0）；
②当∠HMN=90°，则MN=MH，作MM′⊥OA于M′．即 $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ =|a-4|，
解得a= $\text{[math]}$ 或-14，
此时M点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（-14，18）； N点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）或（-32，0）．
综上，当M点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，N点坐标为N₁（ $\text{[math]}$ ，0）或N₂（ $\text{[math]}$ ，0）；
当M点坐标为（-14，18）时，N点坐标为N₃（-14，0）或N₄（-32，0）．
分析：（1）作CE⊥OA于点E，BF⊥OA于F，由条件可以得出△OEC≌△AFB，得出OE=AF，由A（10，0），B（8，6）可以得出0A=10，OF=8，BF=6，进而就可以求出C点的坐标，再利用待定系数法就可以求出AC的解析式．
（2）x=4可以求出P点坐标，由Q点在AC上，设出Q的坐标，可以表示出△PHQ和△AOC的面积，由题意的面积关系建立等量关系就可以求出结论．
（3）由条件当∠MNH=90°或∠HMN=90°，则过M作MM′⊥x轴交于M′点，设出M的坐标，根据等腰直角三角形的性质建立等量关系就可以求出其M的坐标然后由M的坐标就可以求出对应的N的坐标．
点评：本题考查待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标，全等三角形判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质．