Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE＝3，连接DB，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．

（1）求⊙O的半径；
（2）求证：EM是⊙O的切线；
（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD＝45º时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

(1)；（2）证明见解析；（3）.

试题分析：（1）连结OE，根据已知条件得出OC=OE，由勾股定理可求出OE的长；
（2）由（1）知∠AOE=60°，,从而得出∠BDE=60°，又BD∥ME，所以∠MED=∠BDE=60°即∠MEO=90°，从而得证；
（3）连结OF，由∠DPA=45°知∠EOF=2∠EDF=90°所以，通过计算得出结论.
试题解析：连结OE，如图：

∵DE垂直平分半径OA
∴OC=，,
∴∠OEC=30°
∴
（2）由（1）知：∠AOE=60°，,
∴
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°
∴∠MEO=90°
∴EM是⊙O的切线。
（3）连结OF
∵∠DPA=45°
∴∠EOF=2∠EDF=90°
∴
考点: 1.垂径定理；2.圆周角定理；3.扇形的面积.