Question

17．如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），DP交AC于点Q．
（1）求证：△APQ∽△CDQ；
（2）当PD⊥AC时，求线段PA的长度；
（3）当点P在线段AC的垂直平分线上时，求sin∠CPB的值．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义、相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）连接PC，根据线段垂直平分线的性质得到PC=PA，设PA=x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ；
（2）解：∵PD⊥AC，
∴∠QDC+∠QCD=90°，又∠QDC+∠QDA=90°，
∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，
∴△DAP∽△CDA，
∴$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AD}{DC}$，即$\frac{AP}{5}$=$\frac{5}{10}$，
解得，AP=$\frac{5}{2}$；
（3）解：连接PC，
∵点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PC=PA，
设PA=x，则PC=x，PB=10-x，
由勾股定理得，PC²=PB²+BC²，即x²=（10-x）²+25，
解得，x=$\frac{25}{4}$，
∴PC=PA=$\frac{25}{4}$，
∴sin∠CPB=$\frac{BC}{PC}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及锐角三角函数的定义，掌握相关的定理、性质、定义是解题的关键．