Question

如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S_{四边形ADCE}：S_{正方形ABCD}的值为________．

Answer 1

分析：过点E作EF垂直于AD，交AD于点F，设EC=x，AB=y，由ABCD为正方形得到四条边相等，四个角为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到DCEF为矩形，根据矩形的性质得到CE=DF，EF=DC，由AD-DF=AD-EC=y-x，再由两半圆外切，得到两圆心距等于两半径相加，可得出AE=x+y，在直角三角形AEF中，利用勾股定理列出关系式，整理后得到y=4x，由四边形AECD为直角梯形，利用直角梯形的面积公式表示出梯形AECD的面积，再利用正方形的面积公式表示出ABCD的面积，将x=y代入，整理后即可求出所求的比值．
解答：过E作EF⊥AD，交AD于点F，如图所示：
可得∠EFA=90°，
设EC=x，AB=y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=BC=CD=y，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴DFEC为矩形，
∴EF=DC=y，AF=AD-DF=AD-CE=y-x，
∵圆E与圆A外切，
∴AE=x+y，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE²=EF²+AF²，
即（x+y）²=y²+（y-x）²，
整理得：y=4x，即x=y，
∴S_梯形ADCE=（EC+AD）•CD=y（x+y）=y²，S_{正方形ABCD}=y²，
则S_{四边形ADCE}：S_{正方形ABCD}=y²：y²=．
故答案为：．
点评：此题考查了相切两圆的性质，正方形的性质，勾股定理，以及梯形、正方形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．