Question

求方程7x+19y=213的所有正整数解．

Answer 1

用方程
7x+19y=213①
的最小系数7除方程①的各项，并移项得
x=

213-9y

7

=30-2y+

3-5y

7

②
因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．则
y=

3-7u

5

=-u-+

3-2u

5

③，
令

3-2u

5

=v，则2u+5v=3．④
由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2，
代入②得x=25．于是方程①有一组解x₀=25，y₀=2，
所以它的一切解为

x=25-19t y=2+7t

，
由于要求方程的正整数解，所以

25-19t＞0 2+7y＞0

，
解不等式得t只能取0，1，因此得原方程的正整数解为：

x=25 y=2

和

x=6 y=9

．