题目内容

如图1,在矩形ABCD中,AB=20 cm,BC=4 cm.点P从A开始沿折线A-B-C-D以4 cm/s的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t(s).

(1)点P与点Q,谁先到达D点?此时运动的时间是多少秒?

(2)当t=4秒时,试说明四边APQD是怎样特殊的四边形?

(3)如图2,如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm.

①求当t为何值时,⊙P和⊙Q外切?

②⊙P和⊙Q从开始运动到停止运动的过程中,求⊙P和⊙Q外离时,t的取值范围(不要求说明理由,只须写出答案即可)________

答案:
解析:

  (1)点P从A到D所需时间为(20+4+20)÷4=11秒,点Q从C到D所需时间为20÷1=20秒,所以点P最先到达D点,此时运动时间为11秒.………………2分

  (2)当t=4时,PA=4×4=16(cm),CQ=4×1=4(cm),

  QD=CD-CQ=20-4=16(cm)

  ∴PA=QD……………………………2分

  ∵矩形ABCD中已知PA∥QD,∠A=90°

  ∴四边形APQD是矩形.……………………………2分

  (3)①由(2)可知,当t=4秒,四边形APQD是矩形.

  ∴PQ=4 cm=RP+RQ,即两圆的圆心距等于两圆的半径之和.

  ∴⊙P与⊙Q外切.……………………………1分

  设t秒时,在CD边上⊙P追上⊙Q,此时⊙P与⊙Q外切.⊙P和⊙Q运动的路程之间的关系是:

  S⊙P-AB-BC=S⊙Q-RP-RQ……………1分

  4t-20-4=t-2-2

  解得t=……………………………1分

  设t秒时,在CD边上⊙P超过⊙Q,此时⊙P与⊙Q外切.⊙P和⊙Q运动的路程之间的关系是:

  S⊙P-AB-BC=S⊙Q+RP+RQ……………1分

  4t-20-4=t+2+2

  解得t=……………………………1分

  所以,当t=4、t=、t=时,⊙P与⊙Q外切.………………1分

  ②由①可知,当⊙P与⊙Q外离时,t的取值范围是:0≤t<4,4<t<,<t≤11

  (答对两种情况给1分,三种给2分)


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