题目内容

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（0，-5）、C（5，0）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若平行于x轴的直线与此抛物线交于E、F两点，以线段EF为直径的圆与x轴相切，求该圆的半径；
（3）在点B、点C之间的抛物线上有点D，使△BDC的面积最大，求此时点D的坐标及△BDC的面积．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、
B（0，-5）、C（5，0），代入得：
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的表达式为：y=x²-4x-5，
答：此抛物线的表达式是y=x²-4x-5．

（2）如图：

①当直线EF在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），
因为抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$
∴F为（R+2，R），
代入抛物线的表达式，得：
R=（R+2）²-4（R+2）-5，
解得： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 舍去）；
②当直线EF在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则F为（r+2，-r），
代入抛物线的表达式，得：
-r=（r+2）²-4（r+2）-5，
解得 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 舍去），
所以圆的半径为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
答：该圆的半径是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

（3）如图，过D作y轴的平行线，交BC于点M，
设直线BC的表达式是y=kx+b，
把B（0，-5）、C（5，0）代入得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
∴直线BC的表达式为：y=x-5，
设D（x，x²-4x-5），则M（x，x-5）
∴DM=（x-5）-（x²-4x-5），
=-x²+5x
= $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，DM有最大值为 $\text{[math]}$ ，
即当D（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，△BDC的面积最大= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
答：此时点D的坐标是（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），△BDC的面积是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把A、B、C的坐标代入解析式，得到三元一次方程组，求出方程组的解，即可得到答案；
（2）①当直线EF在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），根据抛物线的对称轴得到F的坐标为（R+2，R），代入抛物线的解析式即可求出半径R；②当直线EF在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则F为（r+2，-r），与①解法类似即可求出此时的半径r；
（3）过D作y轴的平行线，交BC于点M，设直线BC的表达式是y=kx+b，把B（0，-5）、C（5，0）代入得到方程组，解方程组即可求出直线BC的解析式，设D（x，x²-4x-5），则M（x，x-5），求出DM=-x²+5x，化成顶点式即可求出最大值，即得到△BDC的面积最大值．
点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解三元一次方程组、二元一次方程组，二次函数的最值，三角形的面积等知识点，熟练地运用这些知识进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性很强的题目，有一定的难度，但题型较好．用的数学思想是分类讨论思想．