如图1.直线AB:y=-x-b分别与x.y轴交于A(6.0).B两点.过点B的直线交x轴负半轴与C.且OB:OC=3:1．(1)求直线BC的函数表达式,(2)直线EF:y=$\frac{1}{2}$x-k交直线AB于E.交直线BC于点F.交x轴于D.是否存在这样的直线EF.使得S△EBD=S△FBD?若存在.求出k的值,若不存在.说明理由．(3)如图2.P为x轴上A点右� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图1，直线AB：y=-x-b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴与C，且OB：OC=3：1．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）直线EF：y=$\frac{1}{2}$x-k（k≠0）交直线AB于E，交直线BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．

分析（1）首先确定B、C两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）存在．由S_△BDF=S_△BDE，可知只需DF=DE，即D为EF中点，利用方程组求出E、F两点坐标，利用中点坐标公式列出方程组即可解决问题；
（3）K点的位置不发生变化．只要证明AC=CQ，即可推出∠QAC=∠OAK=45°即可解决问题；

解答解：（1）∵y=-x-b且过点A（6，0），
∴-6-b=0∴b=-6，
∴y=-x+6，
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵OC：OB=1：3，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
设y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=3x+6．

（2）解：存在．理由如下：如图1中，
∵S_△BDF=S_△BDE，
∴只需DF=DE，即D为EF中点，
E为直线AB与EF的交点$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=\frac{1}{2}x-k}\end{array}\right.$，可得$E（{\frac{2}{3}k+4\;，\;\;2-\frac{2}{3}k}）$，
F为直线BC与EF的交点$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+6}\\{y=\frac{1}{2}x-k}\end{array}\right.$可得$F（{-\frac{2}{5}k-\frac{12}{5}\;，\;\;-\frac{6}{5}k-\frac{6}{5}}）$，
D为x轴与EF的交点D（2k，0），
∵点D为EF的中点，
利用中点公式可得$（{2-\frac{2}{3}k}）+（{-\frac{6}{5}k-\frac{6}{5}}）=0$，
∴k=$\frac{3}{7}$．

（3）K点的位置不发生变化．理由如下：
如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA=m，
∵∠POB=∠PCQ=∠BPQ=90°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，∠QPC+∠PQC=90°，
∴∠OPB=∠PQC，
∵PB=PQ，
∴△BOP≌△PCQ，
∴BO=PC=6OP=CQ=6+m，
∴AC=QC=6+m，
∴∠QAC=∠OAK=45°，
∴OA=OK=6，
∴K（0，-6）．