Question

19．如图，P、Q、R、S四个小球分别从正方形的四个顶点A、B、C、D出发，以同样的速度分别沿AB、BC、CD、DA的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A．
（1）不管滚动时间多长，求证：连接四个小球所得到的四边形PQRS总是正方形．
（2）这个四边形在什么时候面积最大？
（3）在什么时候这个四边形的面积为原正方形面积的一半，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS证明△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS，得出FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，再证出∴∠SPQ=90°，即可得出结论；
（2）根据题意得出当P与顶点B重合时，面积最大；
（3）设正方形ABCD的边长为a，AP=BQ=CR=DS=x，正方形PQRS的面积为y，则BP=CQ=DR=AS=a-x，根据勾股定理得出y是x的二次函数，即可得出结果．

解答 （1）证明：根据题意得：AP=BQ=CR=DS，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴BP=CQ=DR=AS，在△ASP和△BPQ和△CQR和△DRS中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=BQ=CR=DS}&{\;}\\{∠A=∠B=∠C=∠D}&{\;}\\{AS=BP=CQ=DR}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS（SAS），
∴SP=PQ=QR=RS，∠APS=∠PQB，
∴∠APS+∠BPQ=∠PQB+∠BPQ=90°，
∴∠SPQ=90°，
∴四边形PQRS为正方形；
（2）解：根据题意得：当P与顶点B重合时，面积最大，此时S_{正方形PQRS}=S_{正方形ABCD}．
（3）解：P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半．理由如下：
设正方形ABCD的边长为a，AP=BQ=CR=DS=x，正方形PQRS的面积为y，
则BP=CQ=DR=AS=a-x，
根据勾股定理得：y=PS²=AP²+AS²=x²+（a-x）²=2x²-2ax+a²，
即y是x的二次函数，
∵2＞0，
∴y有最小值，
当x=$\frac{a}{2}$时，y=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
即AP=$\frac{a}{2}$时，四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半，
此时，P、Q、R、S分别为AB、BC、CD、DA的中点．

点评 本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最小值问题等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（3）中，需要运用勾股定理和二次函数的知识才能得出结果．