Question

已知：方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，且m≠5，求证：（m-5）x²-2（m+2）x+m=0有两个实数根．

Answer 1

分析：先根据方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根求出m的取值范围，再根据m的取值范围判断出方程（m-5）x²-2（m+2）x+m=0的判别式符号即可．

解答：证明：∵方程mx²-2（m+2）x+m+5=0没有实数根，
∴△1=4(m+2)2-4m(m+5)
=4（4-4m）＜0，
∴m＞4
∵（m-5）x²-2（m+2）x+m=0中，
△2=4(m+2)2-4m(m-5)=36m+16＞0，
∴方程有两个实数根．

点评：本题考查的是根的判别式及解一元一次不等式，根据方程没有实数根求出m的取值范围是解答此题的关键．