题目内容

如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC与O精英家教网B的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=
13
OB时，求⊙O1的半径；
（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得
OD
OE
=
AO
AE
，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
（2）当BD=
1
3
OB时，根据（1）的函数关系式求得y=
5
3
，x=6．分两种情况来解答O1A的值①当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2；②当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6；
（3）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=
1
2
∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=
180-45°
2
=67.5°，然后由三角形的内角和定理求得
∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．
解答：精英家教网解：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
∴AE=
1
2
AC=
1
2
x，OE=
AO2-AE2
=
25-
1
4
x2
．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴
OD
OE
=
AO
AE
，∵OD=y+5，∴
y+5
25-
1
4
x2
=
5
x
2
．
∴y关于x的函数解析式为：y=
5
100-x2
-5x
x
．
定义域为：0＜x＜5
2
．（1分）

（2）当BD=
1
3
OB时，y=
5
3
，
5
3
=
5
100-x2
-5x
x
．
∴x=6．
∴AE=
1
2
x=3，OE=
52-32
=4．
当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2，O1A=
O1E2+AE2
=
22+32
=
13
．
当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，O1A=
O1E2+AE2
=
62+32
=3
5
．
⊙O1的半径为
13
或3
5
．

（3）存在，当点C为
AB
的中点时，△DCB∽△DOC．
证明如下：∵当点C为
AB
的中点时，∠BOC=∠AOC=
1
2
∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=
180-45°
2
=67.5°，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．
点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（2）时注意分两种情况讨论，不要漏解．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，在半径为R的圆中作一内接△ABC，使BC边上的高AD=h（定值），这样的三角形可作出无数个，但AB•AC为定值，其值为
 
．
精英家教网如图，在半径为R的圆内作一个内接正方形，然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n个内切圆，它的半径是（　　）
A、(
2
2
)nR
B、(
1
2
)nR
C、(
1
2
)n-1R
D、(
2
2
)n-1R
精英家教网如图，在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2
3
，则∠AOB=
 
度．
（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
（2013•上海模拟）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是
AB
上的一个动点（不与点A、B重合），PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D，点E、F、G、H分别是线段OD、PD、PC、OC的中点，EF与DG相交于点M，HG与EC相交于点N，联结MN．如果设OC=x，MN=y，那么y关于x的函数解析式及函数定义域为
y=-
1
3
x2+
4
9
（o＜x＜1）
y=-
1
3
x2+
4
9
（o＜x＜1）
．

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