Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE平分∠BAD，连接DE，则sin∠ADE的值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  5

  5

• C、

  1

  4

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：做EF⊥AD于点F，AG⊥CD于点G，由题中条件可证明△ABE≌△AFE和△EDF≌△EDC，从而根据线段之间的等量关系可知AF=AB=1，EF=BE=EC=

1

2

BC=2，FD=CD，又在矩形ABCG中，GC=AB=1，AG=BC=4，所以根据勾股定理可得DG²=AD²-AG²，
即（CD-CG）²=（AF+DF）²-AG²，进而求出DE长，那么sin∠ADE的值即可解答．

解答：解：做EF⊥AD于点F，AG⊥CD于点G
∵∠BAE=∠FAE，∠B=∠AFE=90°
∴△ABE≌△AFE
∴AF=AB=1，EF=BE=EC=

1

2

BC=2
∵EF=EC，DE=DE，∠C=∠DFE=90°
∴△EDF≌△EDC
∴∠EDF=∠EDC，FD=CD，
∵四边形ABCG是矩形，GC=AB=1，AG=BC=4
∴DG²=AD²-AG²，
即（CD-CG）²=（AF+DF）²-AG²
代入数值，解得，CD=4
∴DE²=CD²+CE²
∴DE=2

5

∴sin∠EDF=sin∠EDC=

CE

DE

=

5

5

．
故选B．

点评：本题通过作辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；以及勾股定理和锐角三角函数的概念来求解的．