Question

【题目】在正方形中，点是边上一个动点，连结，，点，分别为，的中点，连结交直线于点E．

（1）如图1，当点与点重合时，的形状是_____________________；

（2）当点在点M的左侧时，如图2．

①依题意补全图2；

②判断的形状，并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）①补全图形;②的形状是等腰三角形,证明见解析.

【解析】

（1）由在正方形ABCD中，可得∠ABC=90°，AB=BC，又由点P与点B重合，点M，N分别为BC，AP的中点，易得BN=BM，即可判定△EPN的形状是：等腰直角三角形；

（2）①首先根据题意画出图形；

②首先在MC上截取MF，使MF=PM，连接AF，易得MN是△APF的中位线，证得∠1=∠2，易证得△ABF≌△DCP（SAS），则可得∠2=∠3，继而证得∠1=∠2，则可判定△EPM的形状是：等腰三角形.

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵点M，N分别为BC，AP的中点，

∴当点P与点B重合时，BN=BM，

∴当点P与点B重合时，△EPM的形状是：等腰直角三角形；

故答案为：等腰直角三角形；

（2）补全图形，如图1所示．　

的形状是等腰三角形．

证明： 在MC上截取MF，使MF = PM，连结AF，

如图2所示．∵ N是AP的中点，PM = MF，

∴MN是△APF的中位线．∴MN∥AF．

∴．=

∵ M是BC的中点，PM = MF，∴BM+MF=CM+PM．即BF=PC．

∵四边形ABCD是正方形，∴，AB=DC．

∴△ABF≌△DCP． ∴．

∴．

∴EP=EM．∴△EPM是等腰三角形．