Question

如图，抛物线y=

2

5

x²-

8

5

x-2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且抛物线的顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若M为抛物线上的一动点，且在第四象限，顺次连接点A，C，M，B，求四边形ACMB面积的最大值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）令y=0，则

2

5

x²-

8

5

x-2=0，解方程即可求得A、B的坐标，令x=0，则y=-2，从而求得C的坐标；
（2）首先求出四边形BMCA面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值．

解答：解：（1）令y=0，则

2

5

x²-

8

5

x-2=0，解得x₁=-1，x₂=5，
∴A的坐标为（-1，0），B的坐标为（5，0），
令x=0，则y=-2，
∴C的坐标为（0，-2）．
（2）设点M坐标为（m，n）（m＞0，n＜0），
如图所示，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF=-n，OF=m，BF=5-m．
S_{四边形BMCA}=S_△BMF+S_梯形MFOC+S_△AOC
=

1

2

BF•MF+

1

2

（MF+OC）•OF+

1

2

OA•OC
=

1

2

（5-m）×（-n）+

1

2

（-n+2）×m+

1

2

×1×2
=m-

5

2

n+1
∵点M（m，n）在抛物线y=

2

5

x²-

8

5

x-2上，
∴n=

2

5

m²-

8

5

m-2，代入上式得：
S_{四边形BMCA}=-m²+5m+6=-（m-

5

2

）²+

49

4

∴当m=

5

2

时，四边形BMCA面积有最大值，最大值为

49

4

．

点评：本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、图形面积计算等重要知识点，涉及考点众多，有一定的难度．第（2）问面积最大值的问题，利用二次函数的最值解决．