Question

《导学新作业》中有如下一道几何题目：
如图，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于点O，点P，D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E，求证：△BPO≌△PDE．

（1）小明冥思苦想许久而不得解，只好去问老师．老师给他分析了如下的思路．

根据上述思路，小明终于会证明了．请你完整地书写本题的证明过程．
（2）证明完后，老师又提出了如下问题让小明解答：若PB平分∠ABO，其余条件不变．求证：AP=CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED，根据AAS证出两三角形全等即可．
（2）求出∠A=∠C=45°，∠ABP=∠3=∠4，根据AAS证出△ABP≌△CPD即可．

解答：（1）证明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBC-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中

∠3=∠4 ∠BOP=∠PED BP=PD

∴△BPO≌△PDE（AAS）；

（2）证明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中

∠A=∠C ∠ABP=∠4 PB=PD

∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．