题目内容
15．如图1，已知B点坐标是（6$\sqrt{3}$，6），BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，D在线段OA上，E在y轴的正半轴上，DE⊥BD，M是DE中点，且M在OB上．（1）点M的坐标是（2$\sqrt{3}$，2），DE=8；
（2）小明在研究动点问题时发现，如果有两点分别在两条互相垂直的直线上做匀速运动，连接这两点所得线段的中点将在同一条直线上运动，利用这一事实解答下列问题，如图2，如果一动点F从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时有一点G从点D出发以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度向点O运动，点H从点E开始沿y轴正方向自由滑动，并始终保持GH=DE，P为FG的中点，Q为GH的中点，F与G两个点分别运动到各自终点时停止运动，分别求出在运动过程中点P、Q运动的路线长．
（3）连接PQ，求当运动多少秒时，PQ最小，最小值是多少？
分析 （1）由点B的坐标为（6$\sqrt{3}$，6），可求得∠BOA=30°，在在Rt△EOD中，由直角三角形斜边上中线的性质可知：OM=$\frac{1}{2}ED=MD$，从而可求得：∠MDO=∠BOA=30°，然后可证明∠EDO=∠DBA=30°，根据特殊锐角三角形函数值可求得AD=2$\sqrt{3}$，则OD=$\sqrt{3}$，OE=4，因为M是DE的中点，所以点M的坐标为（2$\sqrt{3}$，2），从而可求得DE=8；
（2）根据题意画出点P、点Q运动的轨迹，当t=0时，点P的坐标为（5$\sqrt{3}$，3），当t=4时，P1的坐标为（3$\sqrt{3}$，1），然后利用两点间的距离公式可求得PP1=4，当t=6时，点P位于P2处，P1P2=$\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×2=1$，P点运动的路线长PP1+P1P2=5；因为M是DE的中点，∠EOD=90°，所以OM=$\frac{1}{2}DE$=4．故此点M运动的路线为弧ME，然后根据弧长公式即可求得点M运动的路线长；
（3）由三角形中位线的性质可知：PQ=$\frac{1}{2}$FH，所以当FH⊥y轴时，FH最小值=6$\sqrt{3}$，连接FH，设此时运动时间为t秒，则AF=6-t，DG=$\sqrt{3}t$，故此OG=（4-t）$\sqrt{3}$，在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH2=82-3（4-t）2，因为∵OH=AF，可知：（6-t）2=64-3（4-t）2，然后即可解得时间t的值．
解答 解：∵点B的坐标为（6$\sqrt{3}$，6），
∴tan∠BOA=$\frac{AB}{OA}=\frac{6}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠BOA=30°．
∵在Rt△EOD中，点M是ED的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}ED=MD$．
∴∠MDO=∠BOA=30°，
∵BD⊥ED，
∴∠EDB=90°．
∴∠EDO+∠BDA=90°．
∵∠BDA+∠DBA=90°，
∴∠EDO=∠DBA=30°
∴AD=AB•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$．
∴OD=6$\sqrt{3}-2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$．
∴OE=ODtan30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4．
∵M是DE的中点，
∴点M的坐标为（2$\sqrt{3}$，2）．
∵$\frac{OD}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{4\sqrt{3}}{DE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DE=8．
（2）根据题意画出点P、点Q运动的轨迹．
OD=4$\sqrt{3}$，点D的运动时间=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4秒；
点F运动的时间=6÷1=6秒；
∵点P是BD的中点，
∴点P的坐标为（$\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{2}$，$\frac{0+6}{3}$）即点P的坐标为（5$\sqrt{3}$，3），P1的坐标为（3$\sqrt{3}$，1）
∴PP1=$\sqrt{（3-1）^{2}+（5\sqrt{3}-3\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{16}=4$，
P1P2=$\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×2=1$
P点运动的路线长PP1+P1P2=5；
∵M是DE的中点，∠EOD=90°
∴OM=$\frac{1}{2}DE$=$\frac{1}{2}×8=4$．
∴点M运动的路线为弧ME．
∵∠BOA=30°，
∴∠EOM=60°．
∴点M运动的路线长=$\frac{60}{360}×2×π×4$=$\frac{4}{3}π$．
∵GH=DE，
∴点G运动的路线长为：$\frac{4}{3}π$．
（3）∵点P、Q分别为FG和GH的中点，
∴PQ=$\frac{1}{2}$FH．
∴当FH最小时，PQ最小，
当FH⊥y轴时，FH最小值=6$\sqrt{3}$，
如图2，连接FH．
设此时运动时间为t秒，则AF=6-t，DG=$\sqrt{3}t$
∴OG=（4-t）$\sqrt{3}$，
在Rt△HOG中，由勾股定理得：OH2=GH2-OG2
∴OH2=82-3（4-t）2．
∵OH=AF，
∴（6-t）2=64-3（4-t）2．
解得：${t}_{1}=\frac{9-\sqrt{61}}{2}$，${t}_{2}=\frac{9+\sqrt{61}}{2}$（舍去）
∴当运动时间为$\frac{9-\sqrt{61}}{2}$秒时，PQ最小值=3$\sqrt{3}$．
点评 本题主要考查的是四边形、三角形、锐角三角函数、一元二次方程的综合应用，作出点P和点Q运动的轨迹是解题的关键．
如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b（a≠b），点E、F分别是AD、BC上的点，且EF∥AB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2．
重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2$\sqrt{3}$，直线y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$经过点C，交y轴于点G．