题目内容
（12分）已知,矩形
中,
,
,
的垂直平分线
分别交
、
于点
、
,垂足为
.(1)如图10-1,连接
、
.求证四边形
为菱形,并求的长；(2)如图10-2,动点
、
分别从
、
两点同时出发,沿
和
各边匀速运动一周.即点自→→
→停止,点自→
→→停止.在运动过程中,①已知点
的速度为每秒5
,点的速度为每秒4,运动时间为
秒,当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,求的值.②若点
、的运动路程分别为
、
(单位:,
),已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
(1)证明:①∵四边形是矩形
∴∥
∴
,
∵垂直平分,垂足为
∴
∴
≌
∴
∴四边形为平行四边形
又∵
∴四边形为菱形
②设菱形的边长
,则
在
中,
由勾股定理得
,解得
∴
(2)①显然当点在上时,点在
上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在
上时,点在
或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在
上、点在
上时,才能构成平行四边形
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,
∵点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒
∴
,
∴
,解得
∴以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.
②由题意得,以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当点在上、点在上时,
,即
,得
ii)如图2,当点在上、点在上时,
, 即
,得
iii)如图3,当点在上、点在上时,,即
,得
综上所述,
与
满足的数量关系式是
解析:
略
是矩形∴
∥∴
,∵
垂直平分,垂足为∴
∴
≌∴
∴四边形
为平行四边形又∵
∴四边形
为菱形②设菱形的边长
,则在
中,由勾股定理得
,解得∴
(2)①显然当
点在上时,点在上,此时、、、四点不可能构成平行四边形;同理点在上时,点在或上,也不能构成平行四边形.因此只有当点在上、点在上时,才能构成平行四边形∴以
、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,∵点
的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒∴
,∴
,解得∴以
、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,秒.②由题意得,以
、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时,点、在互相平行的对应边上.分三种情况:
i)如图1,当
点在上、点在上时,,即,得ii)如图2,当
点在上、点在上时,, 即,得iii)如图3,当
点在上、点在上时,,即,得综上所述,
与满足的数量关系式是 解析:略
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中,
,
,
的垂直平分线
分别交
、
于点
、
,垂足为
.
、
.求证四边形
为菱形,并求
、
分别从
、
两点同时出发,沿
和
各边匀速运动一周.即点
→
→
,点
秒,当
、
(单位:
),已知
中,
,
,
的垂直平分线
分别交
、
于点
、
,垂足为
.
、
.求证四边形
为菱形,并求
、
分别从
、
两点同时出发,沿
和
各边匀速运动一周.即点
→
→
,点
秒,当
中,
,
,
的垂直平分线
分别交
、
于点
、
,垂足为
.
、
.求证四边形
为菱形,并求
、
分别从
、
两点同时出发,沿
和
各边匀速运动一周.即点
→
→
,点
秒,当
、
(单位:
),已知