题目内容
数学家高斯在读小学二年级时，老师出了这样一道计算题．
1+2+3+4+…+100=高斯很快得出了答案，他的计算方法是
1+2+3+4+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）
=50（1+100）=5050．
（1）请你应用上述方法，求S=1+3+5+…+（2n-1）的计算公式．
（2）如图
第二个图是由第一个图形中的三角形连接三边中点而得到的，第三个图是由第二个图中间一个三角形连接三边中点得到的，依此类推，分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数，由此推测第n个图形三角形的个数，并求出第一个图形到第n个图形的三角形的个数之和．
解：（1）S=1+3+5+…+（2n-1）
=[1+（2n-1）]+[3+（2n-3）+…+（2n）
=（2n）n÷2=n2
（2）设第一个图形、第二个图形、第三个图形的三角形个数和分别为a1、a2、a3，第n个图形三角形的个数是an．第一个图形到第n个图形的三角形个数之和为S，则a1=1，a2=5，a3=9，an=4n-3．
S=a1+a2+an=1+5+9+4n-3
=[1+（4n-3）]+[5+（4n-7）]+（4n-2）
=（4n-2）=n（2n-1）
=2n2-n
分析：（1）等于首尾相加×首尾相加的个数÷2．
（2）第1个图形的三角形的个数为1．第2个图形的三角形的个数为1+4=5．第3个图形的三角形的个数为1+2×4=9．第四个图形的三角形的个数为1+3×4=13．第n个图形三角形的个数为1+（n-1）×4=4n-3．n个图形共有的三角形的个数为：1+5+9+…+4n+3．
点评：本题中等差数列的数相加的规律为：首尾相加×首尾相加的个数÷2．
=[1+（2n-1）]+[3+（2n-3）+…+（2n）
=（2n）n÷2=n2
（2）设第一个图形、第二个图形、第三个图形的三角形个数和分别为a1、a2、a3，第n个图形三角形的个数是an．第一个图形到第n个图形的三角形个数之和为S，则a1=1，a2=5，a3=9，an=4n-3．
S=a1+a2+an=1+5+9+4n-3
=[1+（4n-3）]+[5+（4n-7）]+（4n-2）
=（4n-2）=n（2n-1）
=2n2-n
分析：（1）等于首尾相加×首尾相加的个数÷2．
（2）第1个图形的三角形的个数为1．第2个图形的三角形的个数为1+4=5．第3个图形的三角形的个数为1+2×4=9．第四个图形的三角形的个数为1+3×4=13．第n个图形三角形的个数为1+（n-1）×4=4n-3．n个图形共有的三角形的个数为：1+5+9+…+4n+3．
点评：本题中等差数列的数相加的规律为：首尾相加×首尾相加的个数÷2．
练习册系列答案
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