题目内容
已知抛物线yn＝－(x－an)2＋an(n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an)与x轴的交点为An－1(bn－1，0)和An(b，0)，当n＝1时，第1条抛物线y1＝－(x－a1)2＋a1与x轴的交点为A0(0，0)和A1(b1，0)，其他依次类推．
(1)求a1，b1的值及抛物线y2的解析式；
(2)抛物线y3的顶点坐标为(________，________)；
依次类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(________，________)(用含n的式子表示)；
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________；
(3)探究下列结论：
①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段长，直接写出A0A1的值，并求出An－1An；
②是否存在经过点A(2，0)的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
解析：
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解：(1)∵y1＝―(x―a1)2＋a1与x轴交于点A0(0，0)， ∴―a12＋a1＝0，∴a1＝0或1． 由已知可知a1＞0， ∴a1＝1． 即y1＝―(x―1)2＋1 方法一：令y1＝0代入得：―(x―1)2＋1＝0， ∴x1＝0，x2＝2， ∴y1与x轴交于A0(0，0)，A1(2，0) ∴b1＝2， 方法二：∵y1＝―(x―a1)2＋a1与x轴交于点A0(0，0)， ∴―(b1―1)2＋1＝0，b1＝2或0，b1＝0(舍去)． ∴b1＝2． 又∵抛物线y2＝―(x―a2)2＋a2与x轴交于点A1(2，0)， ∴―(2―a2)2＋a2＝0， ∴a2＝1或4，∵a2＞a1，∴a2＝1(舍去)． ∴取a2＝4，抛物线y2＝―(x―4)2＋4． (2)(9，9)； (n2，n2) y＝x． 详解如下： ∵抛物线y2＝―(x―4)2＋4令y2＝0代入得：―(x―4)2＋4＝0， ∴x1＝2，x2＝6． ∴y2与x轴交于点A1(2，0)，A2(6，0)． 又∵抛物线y3＝―(x―a3)2＋a3与x轴交于A2(6，0)， ∴―(6―a3)2＋a3＝0 ∴a3＝4或9，∵a3＞a3，∴a3＝4(舍去)， 即a3＝9，∴抛物线y3的顶点坐标为(9，9)． 由抛物线y1的顶点坐标为(1，1)，y2的顶点坐标为(4，4)，y3的顶点坐标为(9，9)，依次类推抛物线yn的顶点坐标为(n2，n2)． ∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标， ∴顶点坐标满足的函数关系式是：y＝x； (3)①∵A0(0，0)，A1(2，0)， ∴A0A1＝2． 又∵yn＝―(x―n2)2＋n2， 令yn＝0， ∴―(x―n2)2＋n2＝0， 即x1＝n2＋n，x2＝n2－n， ∴An－1(n2－n，0)，An(n2＋n，0)，即An－1An＝(n2＋n)－(n2－n)＝2n． ②存在．是平行于直线y＝x且过A1(2，0)的直线，其表达式为y＝x－2． |
，经过点
，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，Bn(n，yn)(n为正整数)依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，An+1(xn+1，0)(n为正整数)，设x1＝d(0＜d＜1)．
