Question

如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F。
（1）试说明四边形AECF是平行四边形；
（2）若EF过AC的中点，且与AC垂直时，试说明四边形AECF是菱形；
（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形。

Answer 1

证明：（1）在□ABCD中 AD∥BC
                   ∴∠EAC =∠ACF ∠AEF =∠CFE
                   ∵O是AC的中点
                    ∴OA=OC
                    ∴△AOE≌△COF
                  ∴OE=OF
                  又∵OA=OC
                  ∴四边形AECF是平行四边形
（2）由（1）可知四边形AECF是平行四边形
           ∵ EF⊥AC 
           ∴ 四边形AECF是菱形
（3）当EF = AC时，四边形AECF是矩形。
理由：由（1）可知四边形AECF是平行四边形
           ∵EF = AC ∴ 四边形AECF是矩形