Question

如图，l₁、l₂、l₃、l₄是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25。

（1）连结EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等。

（2）求h的值。

Answer 1

解：连结EF

∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且四边形ABCD是正方形

∴BE∥FD，BF∥ED

∴四边形EBFD为平行四边形

∴BE=FD

又∵l₁、l₂、l₃和l₄之间的距离为h

∴S_△ABE=BE?h，S_△FBE=BE?h，S_△EDF=FD?h，S_△CDF=FD?h

∴S_△ABE= S_△FBE= S_△EDF= S_△CDF）

（2）过A点作AH⊥BE于H点。

方法一：∵S_△ABE= S_△FBE= S_△EDF= S_△CDF

又∵ 正方形ABCD的面积是25

∴，且AB=AD=5

又∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄

∴E、F分别是AD与BC的中点

∴AE=AD=

∴在Rt△ABE中，

BE=

又∵AB?AE=BE?AH

∴

方法二：不妨设BE=FD=x (x>0)

则S_△ABE= S_△FBE= S_△EDF= S_△CDF=

又∵正方形ABCD的面积是25，

∴S_△ABE=，且AB=5

则

又∵在Rt△ABE中：AE=

又∵∠BAE=90^o，AH⊥BE

∴Rt△ABE∽Rt△HAE

∴，即

变形得：

把①两边平方后代入②得：

解方程③得 （舍去）

把代入①得：