Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，以点M（0，1）为圆心，以2长为半径作⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，连接AM并延长交⊙M于P点，连接PC交x轴于E．
（1）求证：点P是

BD

的中点；
（2）求直线PC的函数解析式，
（3）求

S△ACE

S△PCA

的值．

Answer 1

分析：（1）要求

PD

与

PB

相等，即求解两弧所对应的角相等即可；
（2）可先设出线段的解析式，再求出点P、C的坐标，代入即可；
（3）由题中条件不难得出△ACE∽△PCA，其面积比即为对应边的平方比．

解答：证明：（1）连接PD、PB，如图所示：
由题中条件可得CD、PA是⊙M的直径，∴AM=2，MO=1，
∴∠MAO=30°，∠AMO=∠DMP=60°，
又∠DCP=

1

2

∠DMP=30°，
∴∠PAB=∠DCP=30°，
∴

PD

=

PB

，即点P是

BD

的中点．

（2）由已知条件可得点C的坐标为（0，-1），
在△ABP中，由∠ABP=90°，即BP⊥AB，又M（0，1）
可得PB=2，
在△BOM中，可得OB=

3

，
所以点P的坐标为（

3

，2）
设PC的解析式为y=ax+b，
代入点P、C的坐标可得y=

3

x-1．

（3）由于

AC

=

BC

，∴∠APC=∠EAC，
又∠ACE为公共角，
∴△ACE∽△PCA，又点M、C关于点O对称，所以AM=AC．

AC

PC

=

AM

AE

=

1

2

，
∴

S△ACE

S△PCA

=（

AC

PC

）²=

1

4

．

点评：本题主要考查了圆弧的性质以及相似三角形的判定及性质问题，其中涉及待定系数求一次函数的问题，以及相似三角形的面积与边长之间的关系问题，能够将所学知识与圆、坐标熟练地结合起来，从而熟练求解．