题目内容
如图，在平行四边形ABCD中，如果E、F分别是边AD、BC的中点，BE交AF于G，DF交EC于H，那么四边形EGFH是平行四边形．请说明：（1）若将“E、F分别是AD、BC中点”改为“点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF”，四边形EGFH是否仍为平行四边形？若是平行四边形，请说明理由；若不是平行四边形，请画图举反例说明．
（2）若将“E、F分别是AD、BC中点”改为“点E、F分别在AD、BC上，且BE=DF”，四边形EGFH是否仍为平行四边形？若是平行四边形，请说明理由；若不是平行四边形，请画图举反例说明．
考点：平行四边形的判定与性质
专题：
分析：（1）利用平行四边形的性质及其判定即可解决问题；
（2）作辅助线，构造全等三角形；利用平行线的性质及平行四边形的判定等几何知识即可解决问题．
（2）作辅助线，构造全等三角形；利用平行线的性质及平行四边形的判定等几何知识即可解决问题．
解答：
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；
又∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴AE=
AD，CF=
BC，
故AE=CF，而AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，GF∥EH；同理可证GE∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（1）∵AD=BC，AE=CF，∴DE=BF；
又∵AE∥CF，DE∥BF，∴四边形AECF、四边形DEBF均为平行四边形，
∴GF∥EH，GE∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）分别过点B、D作BG⊥DA，DH⊥BC，分别交DA、BC的延长线于点G、H．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴DG∥BH；
又∵BG⊥DA，DH⊥BC，∴BG=DH；
在Rt△BGE与Rt△DHF中，
∵
，∴△BGE≌△DHF（HL），
∴∠GEB=∠DFH；
∵AD∥BC，∴∠EDF=∠DFH，
∴∠GEB=∠EDF，BE∥DF，而DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，GE∥FH；
∵四边形EBFD是平行四边形，∴ED=BF，而AD=BC，
∴AE=CF，而AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，GF∥EH，而GE∥FH，
∴四边形EGFH仍为平行四边形．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；又∵E、F分别是边AD、BC的中点，∴AE=
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故AE=CF，而AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，GF∥EH；同理可证GE∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（1）∵AD=BC，AE=CF，∴DE=BF；
又∵AE∥CF，DE∥BF，∴四边形AECF、四边形DEBF均为平行四边形，
∴GF∥EH，GE∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）分别过点B、D作BG⊥DA，DH⊥BC，分别交DA、BC的延长线于点G、H．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴DG∥BH；
又∵BG⊥DA，DH⊥BC，∴BG=DH；
在Rt△BGE与Rt△DHF中，
∵
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∴∠GEB=∠DFH；
∵AD∥BC，∴∠EDF=∠DFH，
∴∠GEB=∠EDF，BE∥DF，而DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，GE∥FH；
∵四边形EBFD是平行四边形，∴ED=BF，而AD=BC，
∴AE=CF，而AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，GF∥EH，而GE∥FH，
∴四边形EGFH仍为平行四边形．
点评：该题主要考查了平行四边形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行四边形的判定及其性质；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
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