题目内容

某公司开发了某种新型电子产品，现投资50万元用于该电子产品的广告促销．已知该电子产品的本地销量y₁（万台）与本地广告费x（万元）函数关系为

；该电子产品的外地销量y₂（万台）与外地广告费x（万元）的关系可用如图所示的抛物线和线段AB表示．其中A为抛物线的顶点．
（1）写出该电子产品的外地销量y₂（万台）与外地广告费x（万元）的函数关系；
（2）求该电子产品的销售总量y（万台）与外地广告费x（万元）之间的函数关系；
（3）如何安排广告费才能使销售总量最大？

【答案】分析：（1）分段求函数关系式：当0≤x≤30时，设抛物线的顶点式y₂=a（x-30）²+140，然后把点（0，50）代入计算可得到a=-

；当30＜x≤50，y₂是常函数；
（2）设外地广告费为x万元，则本地广告费为（50-x）万元，利用本地广告费的变化情况可分三段讨论函数关系式：当0≤x≤20，y=y₁+y₂=2（50-x）+45-

x²+6x+50=-

x²+4x+195，
当20＜x≤30，y=y₁+y₂=3（50-x）-

x²+6x+50=-

x²+3x+200，当30＜x≤50，y=y₁+y₂=3（50-x）+140=-3x+290；（注意y₁的变量为50-x）
（3）分别利用配方法和一次函数的性质求出（2）中三段函数中函数取最大值时的x的值，然后确定广告费的分配．
解答：解：（1）当0≤x≤30时，抛物线的解析式为y₂=a（x-30）²+140，
把（0，50）代入得a×（0-30）²+140=50，解得a=-

，
∴y₂=-

（x-30）²+140=-

x²+6x+50，
当30＜x≤50，y₂=140，
∴外地销量y₂（万台）与外地广告费x（万元）的函数关系为y₂=

；
（2）设外地广告费为x万元，则本地广告费为（50-x）万元，
由于0≤50-x≤30，则20≤x≤50；30≤50-x≤50，则0≤x≤20，
当0≤x≤20，y=y₁+y₂=2（50-x）+45-

x²+6x+50=-

x²+4x+195，
当20＜x≤30，y=y₁+y₂=3（50-x）-

x²+6x+50=-

x²+3x+200，
当30＜x≤50，y=y₁+y₂=3（50-x）+140=-3x+290，
即y=

；

（3）当0≤x≤20，y=-

x²+4x+195=-

（x-20）²+235，
x=20，y最大值为235；
当20＜x≤30，y=-

x²+3x+200=-

（x-15）²+222.5，
y最大值小于222.5；
当30＜x≤50，y=-3x+290，
x=30，y=-90+290=200，即y的最大值小于200，
所以当x=20时，y最大，50-x=30，
即本地广告费30万元，外地20万元．
点评：本题考查了二次函数的应用：先利用待定系数法或实际问题中的数量关系求出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质讨论最值问题．也考查了一次函数的应用．