Question

10．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是△ABC的一个外角，∠BAC，∠BAD的平分线分别交⊙O与点E、F．若连接EF，则EF与BC有怎样的位置关系？为什么？

Answer 1

分析 先利用角平分线定义和平角定义计算出∠EAF=90°，则利用圆周角定理的推论得到EF为⊙O的直径，由AE平分∠BAC得∠BAE=∠CAE，根据圆周角定理得$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，于是根据垂径定理的推论可得EF垂直平分BC．

解答 解：EF垂直平分BC．理由如下：
∵AF平分∠BAD，AE平分∠BAC，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BAF+∠BAE=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠BAC）=$\frac{1}{2}$×180°=90°，即∠EAF=90°，
∴EF为⊙O的直径，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{CE}$，
∴EF垂直平分BC．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．