Question

已知抛物线y=

1

4

mx²-2mx+4m-

3

3

与x轴的两个交点的坐标为A（x₁，0），B（x₂，0）（x_l＜x₂），且x₁²+x₂²=34．
（1）求m，x₁，x₂的值；
（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题要根据韦达定理来求解，先表示出x₁+x₂和x₁•x₂的值，然后代入x₁²+x₂²=34中即可求出m的值，进而可求出x₁，x₂的值．
（2）如果△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形，那么∠CBA=30°，即直线BC的斜率为

3

3

，据此可求出直线BC的解析式，然后联立抛物线的解析式即可求出C点的坐标，然后判断AC是否等于BC或AB是否等于BC即可，再利用C点可能在x轴上方，分别求出即可．

解答：解：（1）令y=0，则有：0=

1

4

mx²-2mx+4m-

3

3

；
∴x₁+x₂=8，x₁•x₂=

16m- 4 3 3

m

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=64-2×

16m- 4 3 3

m

=34
解得m=

4 3

3

∴y=

3

3

x²-

8 3

3

x+5

3

∴

3

3

x²-

8 3

3

x+5

3

=0，
解得x₁=3，x₂=5
（2）假设存在符合条件的C点，那么∠CBA=30°，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则k=tan30°=

3

3

，已知B（5，0）
∴y=

3

3

x-

5 3

3

联立抛物线的解析式有：

y= 3 3 x- 5 3 3 y= 3 3 x2- 8 3 3 x+5 3

解得：

x=5 y=0

，

x=4 y=- 3 3

∴存在符合条件的C点，坐标为（4，-

3

3

）．
如图所示：
当AB=BC′时，过点C′作C′E⊥x轴于点E，
∵∠ABC′=120°，则∠C′BE=60°，
∴∠BC′E=30°，
∴BE=

1

2

BC′=1，
∴EC′=

3

，
∴C′（6，

3

）．
当AC″=AB时，C″（2，

3

）．
综上所述：C点坐标为：（4，-

3

3

），（6，

3

），（2，

3

）．

点评：本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理的应用、函数图象交点以及等腰三角形的判定等知识点．